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继续进行“换句话说”。从单纯的解方程角度，变换到“独立性”和“秩”

1. dependence（独立性）

   1. dependent（独立的）：

      1. $a_1v_1+a_2v_2+⋯+a_nv_n=0$，只有全 0 解（所有 a 都是 0）

      2. $v_i$ 可以被 $\{ v_1, v_2, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_n \}$线性表示

   2. independent（不独立）

      1. $a_1v_1+a_2v_2+⋯+a_nv_n=0$，不只有全 0 解

      2. 任何 $v_i$ 都不能被 $\{ v_1, v_2, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_n \}$线性表示

      3. $v_i$ 是 0 向量，$n≥1$ （是的，就算只有一个0 向量，也不独立）

   3. 解的数量与独立性

      1. A的列空间独立，则只有唯一解

      2. A的列空间不独立，则有无穷解

      3. 证明“A的列空间不独立，则有无穷解”：

         1. $Ax = b\to A(u+v)=0+b\to Au=0,Av=b$

         2. u来保证齐次，因为A不独立，所以 u 存在，且有无穷个

         3. 前提是有解，所以 v 存在

2. rank（秩）and nullity（核）

   1. rank = 最大的线性相关列的数量

   2. 对于一个 m×n 矩阵 A：$\text{rank}(A)+\text{null}(A)=n$

   3. 满秩 + 有解 = 唯一解

Reference

[1] Linear Algebra Lecture 7: How many solutions?